मान लीजिए $p, q, r$ समान परिमाण के तीन परस्पर लंबवत सदिश हैं। यदि एक सदिश $x$ समीकरण $p \times \{(x - q) \times p\} + q \times \{(x - r) \times q\} + r \times \{(x - p) \times r\} = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $x$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\overline{a}|=\sqrt{3}$,$|\overline{b}|=5$,$\overline{b} \cdot \overline{c}=10$ और $\overline{b}$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\overline{a}$ सदिश $\overline{b} \times \overline{c}$ के लंबवत है,तो $|\overline{a} \times(\overline{b} \times \overline{c})|$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं। इसके विकर्ण के समांतर इकाई सदिश ज्ञात कीजिए। साथ ही,इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=\sqrt{31}$,$4|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$ और $2(\vec{a} \times \vec{b})=3(\vec{c} \times \vec{a})$ है। यदि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2$ का मान $............$ है।

मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबाई $\sqrt{2}$ के दो सदिश हैं,इस प्रकार कि $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ है। यदि $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 2(\vec{a} \times \vec{b})$ है,तो $|\vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के अनुदिश सदिश हैं,जिसका क्षेत्रफल $2 \sqrt{2}$ है। मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण न्यून है। दिया गया है $|\vec{a}|=1$ और $|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|$। यदि $\vec{c}=2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b})-2 \vec{b}$ है,तो $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।